演習4.1，永井保成，「代数幾何学入門」

Weierstrassの割り算定理を証明せよ，という演習問題。こういうことかな，というスケッチを示す。

問題文の記述から，Weierstrassの準備定理を適用すると，gはyについてm次のWeierstrass多項式である。

$\displaystyle g(x_{1}, \ldots ,x_{n},y) = y^{m} + a_{1}(x_{1}, \ldots ,x_{n})y^{m-1} + \cdots + a_{m-1}(x_{1}, \ldots ,x_{n})y + a_{m}(x_{1}, \ldots ,x_{n})$

これをヒントに，gを以下のようにまとめられればよい。

$\displaystyle g = u \cdot f + \sum_{j=0}^{m-1}r_{j}y^{j}$

余りを移項する。gから余りを差し引けば，きれいに割れる。問題文から，この移項をした式もWeierstrass多項式である。このgの整理が本演習の肝のようだ。

$\displaystyle g - \sum_{j=0}^{m-1}r_{j}y^{j} = u \cdot f$

ところでp.38にgの重み付き斉次分解の式がある。

$\displaystyle g = g_{(0)} + g_{(1)} + \cdots + g_{(\nu)} + \cdots$

このgの斉次部分を展開していくと，

$\displaystyle g_{(m)} = y^{m} \\ g_{(m+1)} = u_{(0)}f_{(m+1)} + u_{(1)}f_{(m)} \\ g_{(m+2)} = u_{(0)}f_{(m+2)} + u_{(1)}f_{(m+1)} + u_{(2)}f_{(m)}$

という形でどんどん続いていく。本文中にも書かれているが，左辺の次数はm-1以下である。なので，右辺の項のうち，m+1以上の項を集めたものが全体としての余りになるのではないか。

感想

上記の文中「m+1以上の項の次数はm-1以下」という分かりにくい記述になっているが，これはmを中心として項を整理した都合のようだ。代数学の分野では，「うまいこと並べ方を整理してまとめる」というテクニックがそこら中にあるようで，著者の意図が分からないと「なんでこんな添え字付けなんだ?」となる。

Weierstrassの割り算定理は，スキーム論を扱う本(Bosch"Algebraic Geometry and Commutative Algebra"など)では出てこない。著者が第4章でこの定理を入れてきたのは，一つは「高校数学との連続性」を見せたかったのではないかな，と思う。具体的な多項式の割り算は，高校数学の範疇だからだ。もう一つは，本書の前半が代数幾何学の歴史的な側面を持っているからだろう。