K's Atelier

個人的な学習記録

演習11.1，永井保成，「代数幾何学入門」

Mathematics

$\displaystyle p,q \in Z, p \ge 2, q \ge 2$

のとき，

$\displaystyle (Z/(p)) \otimes (Z/(q))$

を求めるという問題。 $(p)$ は単項イデアルなので， $pZ$ と同じ。単にpの倍数の集合である(p=2なら， ${ \cdots ,-4 ,-2, 0, 2,4, \cdots }$ )。 (https://math2.work/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB/)

証明自体は，次のリンクの定理10の通り。

https://mathematics-pdf.com/pdf/tensor_prod_calc.pdf

結果は，

$\displaystyle (Z/(p)) \otimes (Z/(q)) \cong (Z/gcd(p,q)Z)$

要は，p,qの最大公約数の剰余環，なので，例えばp=4,=q=6ならば，

$\displaystyle (Z/(4)) \otimes (Z/(6)) \cong (Z/gcd(4,6)Z) \cong (Z/2Z) \cong \{ \overline{0}, \overline{1} \}$

ということになる。これを調べながら見つけたことがある。

中国式剰余定理の記述で，

https://www.ssu.ac.jp/home/ken/math23.html

$\displaystyle (Z/pZ) \times (Z/pZ) \cong (Z/pqZ)$

となる。なるほど，剰余環の積は，積による剰余環と同型で，剰余環のテンソル積は，最大公約数による剰余環と同型なのか。似たような構造の式を並べていくと，比較による理解が進む。