第5講先頭の式のu(x,y)，永井保成，「代数幾何学入門」

p.45に $u(x,y)$ の式が書かれている。これの具体的な計算を示す。

$\displaystyle f(x,y) = x^{5} + x^{4} -2x^{2}y^{2} + y^{4} +2x^{2}y - 2y^{3} -x^{2} + y^{2} = 0 \\ なので，\\ m = 2 \\ f_{(2)} = -x^{2} + y^{2} \\ f_{(3)} = 2x^{2}y - 2y^{3} \\ f_{(4)} = x^{4} -2x^{2}y^{2} + y^{4} \\ f_{(5)} = x^{5}$

$u_{(0)}$ は，本文にもある通り，

$\displaystyle g = uf かつg_{(m)} = f_{(m)} なので， u_{(0)} = 1$

これで $u_{(0)}$ は分かったので，あとは，低次の項から計算していく。

$\displaystyle f_{(m)} = y^{m} なので， g_{(m)} = y^{m}，つまり，g_{(2)} = y^{2}$

$g_{(m+1)}$ は以下の通り。

$\displaystyle g_{(m+1)} = u_{(0)} \cdot f_{(m+1)} + u_{(1)} \cdot f_{(m)}$

ここに，ここまでで明らかになった値を入れていく。

$\displaystyle g_{(3)} = 1 \cdot (2x^{2}y - 2y^{3}) + u_{(1)} \cdot y^{2} \\ なので， 2x^{2}y - 2y^{3} = g_{(3)} - u_{(1)} \cdot y^{2} \\ よって，\\ g_{(3)} = 2x^{2}y \\ - 2y^{3} = - u_{(1)} \cdot y^{2} \\$