演習2.1(永井保成，「代数幾何学入門」，p.13)

TeXの練習を兼ねて，演習問題の証明をスケッチする。

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n}$

ということは，展開して書くと，

$\displaystyle f(t) = a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2} + a_{3}t^{3} + \cdots$

あとはf(t)をどんどん微分してみる。

$\displaystyle f^{'}(t) = a_{1} + 2 \cdot a_{2}t + 3 \cdot a_{3}t^{2} + 4 \cdot a_{4}t^{3} + \cdots$

$\displaystyle f^{(2)}(t) = 2 \cdot 1 \cdot a_{2} + 3 \cdot 2 \cdot a_{3}t + 4 \cdot 3 \cdot a_{4}t^{2} + \cdots$

$\displaystyle f^{(3)}(t) = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_{4}t + \cdots$

ここで，示したいのは，

$\displaystyle f(t) = a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2} + a_{3}t^{3} + \cdots$

が，

$\displaystyle f(t) = f(0) + \frac{f^{'}(0)}{1!}t + \cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}t^{n} + \cdots$

と同じになることなので，以下の対応が示せればよい。

$\displaystyle f(0) = a_{0}$

$\displaystyle \frac{f^{'}(0)}{1!}t = a_{1}t$

$\displaystyle \frac{f^{n}(0)}{n!}t^{n} = a_{n}t^{n}$

このくらいまで計算していくと，もうあと少しで示すことはできる。

無限回微分と無限の項がきれいに対応するのは気分が良い。自分でTeXを書くと，数学書の記述がいかに大変か，よくわかる。

K's Atelier